On s'intéresse à des dynamiques récursives de la forme : X_{n+1}=F(X_{n}, \Delta_{n+1}) où (\Delta_n)_{n\in\Z} est une suite stationnaire gaussienne ergodique. On peut penser par exemple aux accroissements du mouvement Brownien fractionnaire. Dans un premier temps, nous verrons comment définir une structure markovienne et donc la notion de mesure invariante dans ce contexte a priori non-markovien. Après avoir établi l'existence d'une telle mesure, nous montrerons qu'à l'aide d'une méthode de couplage inspirée de M.Hairer, J.Fontbona & F.Panloup, A.Deya, F.Panloup & S.Tindel, nous pouvons obtenir une majoration de la vitesse de convergence à l'équilibre pour la distance en variation totale. Dû au cadre non-markovien, une étape supplémentaire est nécessaire dans la procédure de couplage, à savoir "essayer de maintenir les trajectoires collées". Celle-ci induit un coût qui doit être contrôlé, nous verrons comment ceci est possible sous de bonnes conditions.